Circunferencias tangentes a otras dos, conociendo el punto de tangencia en una de ellas

Trazar las circunferencias que son tangentes a C1 y a C2 siendo T el punto de tangencia con ésta última. Selectividad Madrid.

Circunferencias tangentes a otras dos, dado el punto de tangencia en una de ellas

SOLUCIÓN:

En primer lugar, obtendremos el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a c2 en T que resulta la recta de unir O2 con T (en rojo) ya que, como deberíamos saber, los centros de dos circunferencias tangentes están alineados con su punto de tangencia.

Obtenemos el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a c2 en T

A continuación, determinamos el eje radical de las dos circunferencias tangentes que nos piden y c2. Ese eje radical es una recta perpendicular a la recta que une sus centros, es decir, la recta O2-T y que pasa por T. Trazada en verde.

Trazamos una perpendicular por T obteniendo el eje radical

Ahora determinaremos el centro radical de las soluciones con c1. Para ello trazamos una circunferencia auxiliar que sea tangente a c2 en T y se corte con c1. De este modo sacamos el eje radical de la auxiliar y c1 y donde corte con el anteriormente trazado obtendremos el centro radical C. (Trazados en azul).

Obtenemos el centro radical

A continuación obtenemos los puntos T3 y T4 de tangencia en c1, trazando una circunferencia con centro en C y radio C-T. (Pintado en color fucsia).

Determinamos los puntos de tangencia

Ahora unimos O1 con T3 (y luego con T4) y donde corte con el lugar geométrico de los centros (en rojo) obtendremos los centros O3 y O4 de las circunferencias pedidas.

Solución circunferencias tangentes a dos dadas

Soluciones trazadas en color marrón.