Circunferencias tangentes comunes a una recta y a otra circunferencia, conociendo el punto de tangencia T

Trazar dos circunferencias tangentes a la circunferencia dada y a la recta r en el punto T. Madrid, propuesta 2000.

Enunciado: circunferencias tangentes y a otra y a una recta conociendo el punto de tangencia.

SOLUCIÓN:

Para resolver este ejercicio emplearemos la inversión.

Por el centro de la circunferencia trazamos una perpendicular a la recta r que nos determinará en la circunferencia el centro de inversión P.

La figura inversa de una recta (en este caso la recta r) que no pasa por el centro de inversión es una circunferencia que sí pasa por él, así pues, definiremos la inversión que convierte r en c. Para ello obtenemos el par de punto inversos A, A' y T, T'.

La figura inversa a una recta que no pasa por el centro de inversión es una circunferencia que sí pasa

De esta manera hemos definido una inversión que nos convierte r en c.

El punto T' es el inverso de T y será uno de los puntos de tangencia en la circunferencia C (recordemos que en toda inversión si hay dos elementos tangentes en un punto T sus inversos lo serán en T'), así pues, unimos O con T' (en verde) y donde corte con la perpendicular a r por T (lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a r en T, pintado en azul) obtendremos el centro de una de las circunferencias pedidas O1.

circunferencia tangente interior a otra y a una recta: primera solución

Para obtener la otra solución definiremos otra inversión, ahora de centro A', siento A y P puntos inversos y T y T'' (que determinamos uniendo A' con T). Trazados en fucsia.

Obtenemos la segunda circunferencia determinando un nuevo centro de inversión

Como antes, unimos T'' con O y donde corte a la perpendicular a r por T (en azul) nos determina O2, el centro de la otra circunferencia.

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