Dibujo diédrico: Sección producida en un cilindro por un plano oblicuo

Hallar las proyecciones y la verdadera magnitud de la sección producida en el cilindro por el plano α.

Enunciado: Intersección producida en un cilindro recto por un plano oblicuo SOLUCIÓN:

Resolveremos este ejercicio por dos métodos, primero por abatimiento y luego por cambio de plano:

POR ABATIMIENTO:

La sección que un plano oblicuo produce sobre un cilindro recto es una elipse. Para obtener sus ejes cogeremos dos diámetros de la proyección horizontal que sean perpendiculares (recta de máxima pendiente) y paralelos a α1, determinando los puntos A1 y C1, y B1 y D1, respectivamente.

Las proyecciones verticales de estos puntos las obtenemos por su pertenencia a rectas horizontales del plano α. En color rojo.

Obtenemos las proyecciones diédricas de los ejes de la elipse

Ahora abatimos el plano α, que contiene a esos dos ejes y dibujamos la elipse con cualquier procedimiento geométrico (a partir de los ejes en verdadera magnitud). En color verde.

Otenemos la verdadera magnitud de la elipse abatiendo el plano

La proyección vertical de la sección la dibujamos a partir de sus diámetros conjugados A2C2, D2B2. Conviene determinar los puntos de intersección del plano con las generatrices más exteriores, que nos van a permitir obtener la parte vista y oculta de la proyección vertical de la sección.

Obtenemos la proyección vertical de la elipse, la horizontal coincide con la del cilindroNo hace falta dibujar la proyección horizontal de la sección ya que va a coincidir con la proyección del cilindro.

POR CAMBIO DE PLANO:

Se trata de sustituir el plano vertical de proyección por otro de tal manera que el plano α sea proyectante.

Para ello, dibujamos una nueva LT perpendicular a α1. Después, obtenemos la nueva traza vertical del plano buscando el punto de intersección de las líneas de tierra, que hemos llamado Z. Por Z una perpendicular a la primera línea de tierra nos determina V. Trazamos otra perpendicular por Z, esta vez a la nueva línea de tierra. Con centro en Z y radio ZV trazamos un arco que nos determinará V’ en la intersección con la perpendicular a la nueva línea de tierra por Z. Uniendo V’ con la intersección de α1 con la nueva línea de tierra y obtenemos α’2. (en verde)

Ahora, trazaremos un diámetro paralelo a la nueva LT por el centro de la circunferencia de la proyección horizontal. Por los puntos de corte del diámetro con la circunferencia, puntos 4 y 2) trazamos líneas de correspondencia a la nueva LT, sobre los que nos llevaremos la altura del cilindro. En rojo.

Obtenemos la nueva proyección vertical del cilindro tras el cambio de plano

Ahora, obtendremos la proyección vertical de la sección en el nuevo plano vertical para lo que trazaremos una perpendicular a la nueva línea de tierra por el centro de la circunferencia, determinando en esta los puntos 11, 01 y 31, y en α’2, 1’2, 0’2 y 3’2(estos tres últimos coincidentes). Lo mismo hacemos con 2 y 4.

De esta forma y, al conservarse las cotas en un cambio de plano, nos llevamos los valores de las cotas de los puntos 1, 2, 3 , 4 y 0 a la línea de tierra primitiva, obteniendo 12, 22, 32, 42 y 02. En azul.

Estas proyecciones definen los diámetros conjugados de la elipse que es la proyección vertical de la sección, por lo que ya podríamos dibujarla por cualquier método geométrico. Por claridad no la hemos dibujado aún.

Obtenemos la sección vertical (un filo) en el nuevo plano

Ahora, para determinar la sección en VM podríamos o bien abatir el plano α’2 α1, o bien, hacer un nuevo cambio de plano, esta vez horizontal. Haremos esto último.

En primer lugar, trazamos una nueva línea de tierra paralela a α’2 (se trata de convertir al plano α en horizontal).

Después, por 1’2, 2’2, 3’2, 4’2 y 0’2 trazamos líneas de correspondencia a la nueva línea de tierra. Llevándonos los alejamientos sobre esas líneas de correspondencia obtenemos los ejes de la elipse sección en verdadera magnitud, por lo que ya podemos pintarla. (En morado)

Hacemos un cambio de plano horizontal para obtener la verdadera magnitud de la sección

NOTA: Por motivos de espacio y únicamente para determinar la medida de los ejes, hemos fijado 2’1 y 4’1 a un alejamiento menor que el real y luego 3’1 y 1’1 han sido trasladados teniendo en cuenta la diferencia de alejamientos.

Por último, conviene determinar los puntos de intersección del plano con las generatrices más exteriores (hablamos de la proyección vertical de la primera línea de tierra), que nos van a permitir obtener la parte vista y oculta de la proyección vertical de la sección.

La Solución Final queda:

Proyecciones de la sección y verdadera magnitud