Diédrico: Obtener las trazas de un plano dado por tres puntos

Sean los puntos A(10, 20, 30), B(30, 10, 10) y C(40, 20, 40) dados según sus proyecciones diédricas. Se pide determinar las trazas del plano que definen dichos puntos.

 

Dados tres puntos no alineados, determinar el plano que los contiene

SOLUCIÓN:

Un plano queda definido por estos cuatro casos:

  1. Dos rectas que se cortan
  2. Dos rectas paralelas
  3. Un recta y un punto exterior a ella (ver ejemplo)
  4. Tres puntos no alineados

Los casos 3 y 4 se resuelven reduciendolos a los casos 1 ó 2, determinando, en cualquier de los dos casos las trazas de ambas rectas y uniéndolas, obteniendo así las trazas del plano

En esta oportunidad nos tras tres puntos no alineados, por lo que podemos formar con ellos dos rectas que se cortan (caso 1), o bien, dos rectas paralelas (caso 2).

Lo resolveremos por ambos métodos.

1) Mediante dos rectas que se cortan.

Convertiremos esos tres puntos en dos rectas que se cortan siendo, por ejemplo,  el punto B el punto de intersección. Así, nuestras rectas serán AB (en rojo) y BC (en verde):

Trazas y proyecciones diédricas de dos rectas secantes

Determinando sus trazas.

Ahora unimos las trazas homónimas de las rectas, es decir, Vr2-Vs2 (que nos determinan la traza vertical del plano P2) y Hr1-Hs1 (determinándonos la traza horizontal del plano P1).

De esas cuatro trazas, en realidad sólo necesitaremos tres de ellas si las trazas del plano cortan dentro del papel con la línea de tierra, ya que bastaría con unir dos verticales (o dos horizontales) y donde cortase la recta que las une con la línea de tierra lo uniríamos con una traza horizontal (o vertical).

Plano definido por dos rectas secantes

2) Mediante dos rectas paralelas

Unimos dos puntos cualesquiera, por ejemplo, A y B, obteniendo la recta r (en rojo). Después, por C trazamos una paralela a r (en verde), es decir, por C1 paralela a r1 y por C2 paralela a r2.

Dos rectas paralelas en sistema diédrico

En este caso vemos que la recta s, se trata de una recta incidente con la línea de tierra, lo cual significa que sus trazas coinciden ambas en la línea de tierra, en el punto de corte de s2 con s1 y con LT.

Sólo nos resta unir Vr2 con Vs2 determinando P2 y Hr1 con Hs1 obteniendo P2

Dos rectas paralelas definen un plano

Como se puede  ver, y no podía ser de otra forma la solución es la misma en ambos casos, ya que el plano definido por tres puntos es único, sea cual sea el método utilizado.

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