Ejercicio A1. Selectividad Dibujo Técnico, Madrid, Junio 2015

Dibujar el eje y la directriz de una parábola definida por su vértice V y su foco F, y hallar con precisión y sin dibujar la parábola:

a) Los puntos de la misma situados a 50 mm de la directriz y las tangentes en dichos puntos.

b) La intersección de la parábola con la recta r, perpendicular a su eje y que pasa por su foco. Explicar el concepto utilizado para resolver este apartado.

Datos de una parábola selectividad jun 2015

SOLUCIÓN:

Para obtener el eje simplemente trazaremos la recta que contiene al foco F y al vértice V:

Obtención del Eje de la ParábolaSi repasamos la definición de parábola: "El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz" y sabiendo que la directriz de una parábola es perpendicular a su eje, para trazarla simplemente dibujaremos una perpendicular al eje a una distancia igual a la que hay entre V y F.

Para ello trazamos un arco de circunfencia con centro en V y radio VF. Donde ese arco corte al eje obtendremos el punto 1 que pertenecerá a la directriz. La perpendicular por 1 al eje será la directriz:

Determinamos la directriz de la parábolaApartado A:

Ahora vamos a determinar los puntos que disten 50 mm de la directriz: como pertenecen a la parábola distarán 50mm tanto de la directriz como del foco, por ello dibujaremos el lugar geométrico de todos los puntos que disten 50 mm del foco (circunferencia de radio 50mm) y el lugar geométrico de todos los puntos que disten 50 mm de la directriz (paralela a ésta a una distancia de 50 mm).

Ambos lugares geométricos se cortarán en los puntos A y B que serán los puntos pedidos:

Primer lugar geométrico de los puntos A y B (circunferencia de centro F y radio 50mm)Con la intersección de ambos lugares geométricos obtenemos A y BUna vez que tenemos los puntos A y B dibujaremos las rectas tangentes a la parábola y que pasan por ellos.

Trazamos por A (y por B) una paralela al eje que cortará a la directriz en el punto 2 (y 3).

Paralelas al eje por A y B, donde corten a la directriz tenemos los puntos 2 y 3Ahora unimos los puntos que acabamos de obtener con el foco F:Unimos los puntos 2 y 3 con el foco de la parábola

Desde A (y desde B) trazamos una perpendicular a los segmentos obtenidos 2F y 3F. Dichas perpendiculares serán las tangentes pedidas:

Trazamos las perpendiculares a las rectas 2F y 3F que pasen por A y B respectivamente, obteniendo las tangentes.Apartado B:

Dibujemos ahora la recta que nos piden: una perpendicular al eje que pase por el foco (recta r):

Trazamos una perpendicular al eje obteniendo la recta rPara que los puntos pedidos pertenezcan a la parábola habrán de estar a la misma distancia de F que de la directriz. Como se halla en r, su distancia a la directriz será d(F,d) = 2FV, por ello trazamos el lugar geométrico de todos los puntos que disten 2FV de F, es decir, una circunferencia de radio 2FV y centro F.

Donde dicha circunferencia corte con r tendremos los puntos de corte pedidos (S1 y S2):

Obtención de los puntos pedidos de corte de la parábola con la recta perpendicular al ejeVeamos todo el ejercicio resuelto con una animación de 30 segundos:

Animación con la resolución del ejercicio