Ejercicio A1. Selectividad Dibujo Técnico, Madrid, Septiembre 2014

Siendo el punto I el centro de inversión, exterior a la circunferencia c, de centro O, encontrar un valor para la potencia K de forma que su inversa c’ coincida con c. Hallar los puntos dobles

Ejercicio de Inversión de Selectividad Madrid septiembre de 2014

SOLUCIÓN:

En primer lugar, recordaremos un poquito de teoría de inversión: La figura inversa a una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra circunferencia homotética de la primera. Además, para que una circunferencia sea inversa de sí misma es necesario que pase por dos puntos inversos (pero ¡ojo! sus puntos no serán inversos de sí mismos, salvo dos).

Si por I trazamos una recta secante con c, obtendremos en ella dos puntos A y A' que deberán ser inversos entre sí, de tal forma que: K = IA x IA'

Por I trazamos una recta secante a c

En principio de esa forma habríamos determinado la potencia de la inversión.

Para hallar los puntos dobles trazaremos una recta tangente desde I a c (recta tangente a una circunferencia que pasa por un punto), obteniendo T que coincidirá con T'. Después con centro en I y radio IT trazamos la circunferencia de puntos dobles que nos determinará el punto T1 = T1', también punto doble.

Solución al ejercicio A1 selectividad septiembre 2014

Como podemos ver, también podemos expresar la potencia como el cuadrado del segmento IT o, lo que es lo mismo, que √K = IT (dibujado en verde).

En rosa y con trazo discontínuo hemos trazado la circunferencia de puntos dobles que tiene centro en el polo de inversión y radio √K.