Ejercicio A2. Selectividad Dibujo Técnico, Madrid, Septiembre 2014

Determinar la distancia del punto P al plano Q definido por los puntos A, B y C.

selectividad madrid a2 septiembre 2014

SOLUCIÓN:

En primer lugar determinaremos el plano definido por tres puntos. Para ello, determinamos las trazas de las rectas AB y AC (en azul):

Trazas de dos rectas que definen los tres puntos dados

Como vemos la recta AB es frontal, luego la traza vertical del plano será paralela a la proyección vertical de la recta. Análogo ocurre con la recta AC que es horizontal y su proyección horizontal será paralela a la traza horizontal del plano.

Así pues, por Hr1 trazamos una paralela a s1 que será K1 (traza horizontal del plano) y por Vs2 paralela a r2 obteniendo K2 (traza vertical del plano). En rojo.

Dibujamos las trazas del plano que definen los tres puntos

Ahora por P trazamos una recta perpendicular  al plano K (recta t) y determinamos la intersección de ambos, que será un punto.

Por el punto dado trazamos una perpendicular al plano obtenido

Para ello incluimos la recta t en un plano W proyectante. La proyección t1 coincide con la traza W1 y la traza W2 es perpendicular a línea de tierra. Donde W1 y W2 cortan respectivamente con K1 y K2, obtenemos las trazas de la recta intersección entre W y K. Trazados en verde.

Determinamos las trazas de la recta intersección

 

Dibujamos la recta i de intersección (en rosa) cuya proyección horizontal coincidirá tanto con t1 como con W1.

Donde i2 corte con t2 obtendremos la proyección vertical del punto de intersección de la recta perpendicular al plano definido por los puntos A, B y C desde el punto P. Determinamos la proyección horizontal de I sobre t1=i1.

El punto obtenido es el de mínima distancia del punto al plano

El punto I obtenido es el punto de mínima distancia del punto P al plano K definido por A, B y C. La distancia pedida es el segmento PI del que deberemos obtener su verdadera magnitud.

Para ello, determinamos la diferencia de alejamientos (d) entre P1 e I1, y nos llevamos esa distancia d en una perpendicular a t2 por P2, obteniendo el punto J. El segmento I2-J es la distancia en verdadera magnitud trazada en gris.

Obtenemos la distancia pedida en verdadera magnitud