Ejercicio A2 (solución). Selectividad Dibujo Técnico, Madrid, Junio 2015

Dibujar el tetraedro regular que tiene una de sus caras en el plano vertical de proyección y se encuentra íntegramente en el primer cuadrante, sabiendo que una de las aristas de esta cara es el segmento r, dado por su proyección vertical. Trazar la sección producida en el tetraedro por un plano horizontal de cota 25 mm.

Enunciado ejercicio A2 - Selectividad Dibujo Madrid, junio 2015

SOLUCIÓN:

Si una de las caras del tetraedro se encuentra en el plano vertical veremos dicha cara en verdadera magnitud y, por lo tanto, la longitud de la arista también en VM será la del segmento r2.

Además la proyección horizontal de dicha cara se encontrará en la línea de tierra, por ello podemos dibujar dicha cara.

Para ello, en primer lugar nombramos los vértices de r2 (A2 y B2) y trazamos un arco desde A2 con radio r2 y otro desde B2 con el mismo radio. La intersección de dichos arcos nos definirá el vértice C2 (proyección vertical del vértice C). Habrá dos soluciones, pero como nos dicen que el tetraedro se encuentra en el primer cuadrante nos quedaremos con el punto que queda por encima de la línea de tierra:

Primer paso: determinar C2

Obtener las proyecciones horizontales de los puntos A, B y C es trivial, ya que, como hemos comentado se encuentran en la línea de tierra, por lo que simplemente bajamos las líneas de referencia perpendiculares a LT desde A2, B2 y C2.

Unimos los puntos A2, B2 y C2 para obtener la proyección vertical del triángulo equilátero ABC (la cara del tetraedro que está en el plano vertical).

Determinamos las proyecciones de la cara del tetraedro que está en PV
Determinaros la proyección vertical y horizontal de la cara del tetraedro apoyada en el plano vertical

El siguiente paso consistirá en obtener el ortocentro (O2) del triángulo A2, B2, C2 que coincidirá con D2 y por ese punto trazar la recta de punta que constituirá la altura del tetraedro y que será el lugar geométrico de D1.

Por C2 trazamos una perpendicular a r2, y por A2 una perpendicular a B2C2, obteniendo O2-O1 el ortocentro de la cara ABC:

Ortocentro de la cara apoyada en el PH
Determinamos las proyecciones del ortocentro de la cara apoyada en el plano horizontal

Ahora obtendremos la altura del tetraedro:

Supongamos que lo tenemos apoyado en el plano horizontal con una de sus aristas perpendiculares a línea de tierra. De este modo tendremos en la proyección vertical tanto la altura del tetraedro (por ser recta vertical) como una de las aristas en VM (por ser recta frontal). Como también conocemos el lugar geométrico del vértice D2 (una recta vertical cuya proyección horizontal pasará por el ortocentro), trazamos desde C2 un arco con radio A1B1 (lado del triángulo equilátero) y donde se corte con la recta vertical obtenemos D2.

La distancia desde D2 a LT será la altura en VM.

Altura de un tetraedro en diédrico a partir del lado
Croquis de la obtención de la altura de un tetraedro dado el lado en sistema diédrico

En el croquis vemos que se forma un triángulo rectángulo en el que uno de los catetos el H, la hipotenusa es la arista del tetraedro y el otro cateto es 2/3 la altura de la base (recordemos que en un triángulo rectángulo las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices coinciden y se cortan a 2/3 de la longitud de éstas).

Así pues, en nuestro dibujo anterior por O2 trazamos una perpendicular a C2O2, y por C2 un arco de radio la arista del tetraedro. Donde se corten el arco y la perpendicular nos determinará un punto (1) que distará de O2 el valor de la altura del tetraedro.

Obtenemos la altura de nuestro tetraedro
Construcción auxiliar para determinar la altura del tetraedro

Ahora, a partir de O1 me llevo la distancia d(1,O2) en la recta de punta (me llevaré la distancia hacia abajo para que esté en el primer cuadrante) obteniendo D1. D2 coincidirá con O2, de nuevo por tratarse de una recta de punta.

Trasladamos la altura obtenida a la recta de punta (proyección horizontal)
Trasladamos la altura obtenida a la proyección horizontal (recta de punta)

Obtendremos las proyecciones del tetraedro uniendo las proyecciones homónimas de cada uno de los vértices:

Determinamos las proyecciones del tetraedro
Construimos el tetraedro uniendo los vértices homónimos

Ahora nos faltaría ver las partes vistas y ocultas del tetraedro y eliminamos los trazados auxiliares:

  • B1 – D1 – A1 – C1 es visto por ser contorno aparente.
  • C1 – D1 es vista por tener C2 mayor cota que D2.
  • A2 – B2 – C2 es visto por ser contorno aparente.
  • A2-D2, B2-D2 y C2-D2 son también aristas vistas por ser D1 el punto de mayor alejamiento.
Aristas vistas y ocultas del tetraedro
Partes vistas y ocultas del tetraedro eliminando las construcciones auxiliares

Por último trazamos el plano pedido (se trata de un plano que sólo tiene traza vertical y que ésta es paralela a la línea de tierra y dista de ésta 25 mm):

Trazas del plano horizontal

Obtenemos los puntos de intersección de las aristas B2-C2, D2 – C2 y A2-C2 con P2, obteniendo los puntos R2, S2 y T2. Bajamos esos puntos a sus aristas homónimas B1-C1 (LT), D1-C1 y A1-C1 (LT).

Puntos de corte entre plano y tetraedro
Determinamos los puntos de corte del plano dado con el tetraedro

Unimos entre sí, R1-S1-T1 y obtendremos la proyección horizontal de la sección producida (en Verdadera Magnitud), la proyección vertical será el filo R2-T2-S2.

Uniendo los puntos obtenemos la sección del plano con el tetraedro
Uniendo los puntos obtenemos las proyecciones de la sección, de las que la proyección vertical está en verdadera magnitud

En un artículo anterior puedes ver la solución del primer ejercicio de selectividad de Madrid de junio 2015