Ejercicio Tangencias: cincunferencias de radio dado tangentes a una recta y otra circunferncia

Este ejercicio fue propuesto en un examen de Selectividad (PAU) de Andalucía, en el curso 2006/2007

ENUNCIADO:

Trazar todas las circunferencias de 20 mm de radio que sean tangentes interiores y exteriores a la circunferencia de centro O y a la recta R dadas, determinando los centros y puntos de tangencia

Circunferencias tangentes a otra circunferncia y a otra recta.SOLUCIÓN:

En primer lugar, obtenemos el lugar geométrico de los centros de todas las circunferencias de radio 20mm que serán tangentes a R. Este lugar geométrico son dos rectas paralelas a R que disten 20 mm de dicha recta (rectas R1 y R2):

Rectas paralelas a R a una distancia igual al radio de la soluciónAhora, usamos el lugar geométrico circunfencia para obtener los centros de todas las circunferencias tangentes a la circunferencia de centro O y radio 20. Es decir, trazamos dos circunferencias concéntricas a dicha circunferncia: una con un radio 20 mm mayor y otra con 20 mm menor.

Donde se corten las circunferencias y las dos rectas paralelas R1 y R2 serán los centros de las circunferencias tangentes tanto a la recta R como a la circunferencia (seis soluciones):

Obtenemos los centros de las solucionesAhora obtendremos los puntos de tangencia: desde cada centro trazamos perpendiculares a R (obteniendo los puntos de tangencia con la recta) y, por otro lado, unimos cada uno de los centros con O (obteniendo los puntos de tangencia con la circunferencia).

Determinamos los puntos de tangencia tanto en la recta como en la circunferenciaSólo falta trazar con centro en O1, O2, ... O6 y radio 20 mm las circunferencias solución:

Obtenemos las circunferencias tangentes desde cada uno de los centros a sus puntos de tangencia