Ejercicio tangencias: circunferencias interiores tangentes a una dada y a sus diámetros

Ejercicio propuesto en Selectividad de la Universidad de Andalucía.

ENUNCIADO:

Dada la circunferencia de centro O y dos de sus diámetros AB y CD, se pide:

Dibujar las circunferencias tangentes interiores a la dada que además sean tangentes a los diámetros AB y CD.

Indicar con claridad los puntos de tangencia.

Enunciado selectividad AndalucíaSOLUCIÓN

Como quiera que las circunferencias que nos piden han de ser tangentes a los diámetros el lugar geométrico de los centros serán las bisectrices de los ángulos que forman dichos diámetros.

Estas  bisectrices cortarán en los puntos 1, 2, 3 y 4  a la circunferencia dada, y esos puntos, serán los puntos de tangencia por una de las propiedades fundamentales de las tangencias: dos circunferencias tangentes tienen sus centros y su punto de tangencia alineados.Trazamos las bisectrices de los diámetros dadosSi las circunferencias pedidas son tangentes en 1 y 2 también los serán a las rectas que pasen por esos puntos y sean perpendiculares a 1-3, 2-4.

Por tanto, el lugar geométrico de sus centros estará en la bisectriz del ángulo formado por la prolongación del segmento CD y la perpendicular a 1-3 en 1 (determinando el punto 5), y lo mismo ocurrirá con la perpendicular a 2-4 en 2 determinando el punto 6):

Perpendiculares por puntos de tangenciaTrazamos ahora las bisectrices de los ángulos 5 y 6 y donde corten con las bisectrices BOD y AOD, respectivamente, tendremos los centros de las circunferencias pedidas.

Obtenemos los centros de las circunferencias tangentesLos puntos de tangencia los sacamos trazando perpendiculares desde dichos centros a los diámetros.Obtenemos los puntos de tangencia en los diámetros.

Basta trazar con centro en C1 una circunferencia que pase por 1, T1 y T2 (radio C1-1) y por C2 una circunfencia que pase por 2, T3 y T4 (radio C2-2):Dibujamos las circunferencias de centro C1 y C2.Los centros C3 y C4, así como, el rescto de puntos de tangencias lo obtendremos por simetría:

Determinamos el resto de centros y puntos de tangencia por simetría