Ejercicio tangencias por potencia: Segmentos tangentes de medida dada a dos circunferencias

EJERCICIO DE TANGENCIAS POR POTENCIAS (resuelto y explicado).

Dadas dos circunferencias exteriores entres sí C1 y C2, cuyos radios miden 15 y 25 mm respectivamente y cuya distancia entre centros es de 60mm. Se pide determinar el punto P desde el cual los segmentos PT y PT' miden 40mm, siendo T y T' los puntos de tangencia de las rectas que pasan por P y son tangentes a C1 y C2.

SOLUCIÓN:

El punto P ha de tener la misma potencia respecto de C1 y de C2, ya que su distancia a T y T' ha de ser la misma, por lo que P ha de estar en el eje radical de ambas circunferencias.

Procedemos a pintarnos las dos circunferencias y a obtener su eje radical (en rosa).

eje radical de dos circunferencias exteriores

 

Ahora, para determinar el punto P, habremos de llevarnos la distancia de 40mm, sabiendo que la recta que une P con C1 (por ejemplo) es tangente. Esa tangente, el radio de C1 y el segmento que une O1 con P nos define un triángulo rectángulo.

En la figura siguiente hemos cogido un punto P' cualquiera y vemos dicho triángulo rectángulo (en verde)

medida del segmento desde un punto del eje radical a un punto de tangencia

 

En una construcción auxiliar nos dibujamos un rectángulo de catetos 40mm y 25mm (radio de C1). Después, desde O1 trazamos un arco con la medida de la hipotenusa de dicho triángulo. Donde ese arco corte con el eje radical obtengo el punto pedido, P. (en verde).

tangente a dos circunferencias desde un punto de medida dada

Obtendríamos 8 segmentos (por claridad sólo hemos dibujado 4), que serían el PT1, PT1', PT2 y PT2'. Pero si nos fijamos la intersección del eje radical con el arco de radio la hipotenusa con centro O1, también nos define el punto Q, luego tendría otros 4 segmentos si desde Q, trazase rectas tangentes a C1y C2.