Ejercicio tangencias: selectividad Andalucía 2007

Ejercicio Dibujo Geométrico PAU Andalucía 2007

Dadas dos rectas R y S y el punto P perteneciente a una de ellas, se pide:

  1. Trazar la circunferencia tangente a ambas rectas y que contenga al punto P. Hallar el punto de tangencia en la recta S.
  2. Dibujar el triángulo isósceles inscrito en dicha circunferencia que tiene por lado desigual el segmento determinado por los puntos de tangencia. Elegir la solución en la que el triángulo tenga mayor superficie.
  3. Dibujar la circunferencia inscrita en el  triángulo hallado, determinando los puntos de tangencia.

enunciado PAU AndalucíaSOLUCIÓN

Punto 1:

En primer lugar, dibujaremos el lugar geométrico de los centros de todas las circunferencias tangentes a R en el punto P: trazamos una perpendicular a R por P. Llamemos a esa recta r.

Después deberíamos trazar la bisectriz del ángulo que forman las rectas R y S, pero su vértice no es accesible, por lo que trazaremos paralelas a R y a S (a la misma distancia de manera que su vértice si sea accesible); otra forma podemos verla aquí.

Bisectris de R y S y perpendicular a R por P

Donde se cortan los lugares geométricos LG1 y LG2, es decir la perpendicular por P a r y la bisectriz, será el centro de la circunferencia tangente (O).

Desde O trazamos una perpendicular a s obteniendo el punto T de tangencia.

Con centro en O y radio OT trazamos la circunferencia que nos piden.

Trazamos la circunferencia tangente a ambas rectas

Punto 2:

El segmento PT será el lado desigual del triángulo isósceles. Haremos la mediatriz del mismo para determinar el tercer punto que se obtendrá en la intersección de ésta con la circunferencia.

Dicha mediatriz no hace falta construirla ya que coincidirá con la bisectriz (LG2) al tratarse de un triángulo isósceles.

Con el lado PT y la mediatriz de éste obtenemos un triángulo isósceles

Como vemos en la figura, obtenemos dos posibles vértices el punto 1 y el punto 2. Tomaremos el punto 2 ya que será el que nos determinará el triángulo de mayor área.

Punto 3:

Ahora haremos la bisectriz del lado PT-T2 y donde corte con la bisectriz 02 determinamos el centro de la circunferencia inscrita.

Obtenemos el incentro y la circunferencia inscrita

Los puntos de tangencia los obtenemos trazando perpendiculares desde el centro a cada uno de los lados.