Ejercicio Triángulos: construir un triángulo conociendo mediana, mediatriz y bisectriz de un lado.

EJERCICIO RESUELTO DE TRIÁNGULOS:

Construcción de un triángulo conocidos la mediana  (50mm) y la altura (30mm) del lado a, así como,  la bisectriz del vértice opuesto A (40mm).

SOLUCIÓN:

En primer lugar, nos dibujaremos un croquis del ejercicio resuelto y a partir de ahí, veremos las propiedades que podremos aplicar en su resolución.

croquis del triangulo resueltoComo podemos apreciar, si pintamos la recta que contiene al lado a, podemos trazar el lugar geométrico del vértice opuesto (A): una recta paralela a dicha recta a una distancia de ha.

Por otro lado, si elegimos un punto cualquiera de dicha recta y lo llamamos A, podemos con centro en él y radio ma, trazar un arco que será el lugar geométrico del punto medio del lado a.

Igualmente, podemos pintarnos la bisectriz.

dibujamos la mediana bisectriz y altura

Por otro lado, si en el croquis pintamos la circunferencia circunscrita al triángulo y prolongamos la bisectriz obtenemos el punto P.

Si trazamos una perpendicular que pasa por el punto medio (el cual conocemos) es decir, la mediatriz vemos que se corta con la bisectriz en la circunferencia circunscrita (como vimos en un artículo anterior).

la mediatriz y la bisectriz se cortan en la circunferencia circunscrita

Volviendo a nuestro dibujo, trazamos por el pie de la mediana una perpendicular (en rosa) que habrá de cortar a la bisectriz (en verde) en un punto que pertenecerá a la circunferencia circunscrita. Por tanto, donde la mediatriz de A y P (en azul) se corte con la mediatriz de a, obtendremos el circuncentro.

triangulo dada la bisectriz la mediana y la altura

Con centro en ese punto y radio hasta A, trazamos una circunferencia (en marrón) que cortará en la recta que contiene a a en los puntos B y C, vértices del triángulo.