Inversión. Concepto y tipos.

La inversión es uno de los temas que más rechazo provoca entre los alumnos. Hay que, como yo digo siempre en mis clases, "aprender a quererla" y si con esta serie de artículos que comienzo con éste consigo que algo de cariño surja en alguien me daré por satisfecho.

En primer lugar, hemos de tener unos pocos conceptos claros, muy sencillos pero básicos.

Vamos a empezar definiendo qué es la inversión: Definimos inversión como una transformación geométrica que hace corresponder a un punto A con su inverso A' cumpliendo dos condiciones:

  1. Dos puntos inversos están alineados con otro punto fijo llamado centro de inversión o polo.
  2. El producto de las distancias de cada punto al centro de inversión es constante y se llama potencia de inversión: K = OA x OA'
  3. Si K > 0 ambos puntos están a un lado de O, mientras que si K<0 los puntos estarán uno a cada lado del polo.

Si la potencia es positiva los puntos inversos están en el mismo lado. Si es negativa habrá uno a cada lado del polo.

Puntos y elementos dobles

En general, llamamos punto doble o elemento doble a aquel que coincide con su transformado. Por ejemplo, en una simetría axial los puntos del eje son dobles ya que son simétricos de sí mismos.

En inversión, los puntos dobles son aquellos que son inversos de sí mismos, es decir, aquellos que se hallan a una distancia de O de √K.

Al tratarse de una distancia constante nos determina una circunferencia característica de toda inversión que es la circunferencia de puntos dobles o CPD en la que todos y cada uno de sus puntos son dobles.

Circunferencia de puntos dobles o CPD

Hemos de darnos cuenta que para que una inversión tenga CPD el valor de su potencia K ha de ser mayor que cero, ya que el valor del radio es la raíz de este valor.

A la CPD también se le conoce con el nombre de circunferencia de autoinversión.

La CPD es la única figura que todos sus puntos son dobles, pero no es la única figura doble. Es decir, tendremos rectas y circunferencias que serán dobles, pero sus puntos no lo serán, excepto aquellos que se corten con la CPD.

La inversa de una recta que pasa por el centro de inversión es ella misma, siendo únicamente puntos dobles aquellos en los que la recta se corta con la circunferencia de autoinversión.

Una recta que pasa por el polo es una recta doble

Una circunferencia será doble cuando pase por dos puntos inversos, sea K positiva o negativa.

Circunferencia doble con potencia positiva

Circunferencia doble con potencia positiva.

 

Inversión de potencia negativa: circunferencia doble

Circunferencia doble con potencia negativa: nótese que ninguno de sus puntos es doble y no existe la circunferencia de autoinversión.

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