Inversión: el inverso de un punto conociendo la cpd

En un artículo anterior ya hablamos sobre la necesidad de ir comprendiendo poco a poco los conceptos básicos de la inversión para, posteriormente, ir viendo su utilidad práctica, sobre todo, en la resolución de algunos tipos de tangencias.

En éste artículo vamos a ver cómo podemos obtener el inverso de un punto si conocemos la circunferencia de puntos dobles. En artículos posteriores veremos otros dos casos:

  • Inverso de un punto cuando conocemos su centro y una pareja de puntos inversos
  • Inverso de un punto conociendo el centro y una circunferencia doble

Partimos de una figura similar a esta:

Nos dan la CPD y el punto A y hemos de determinar su inverso.

Aplicaremos el teorema del cateto que nos dice que en un triángulo rectángulo cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

OM² = OA x OA' ⇒ (√K)² = K = OA x OA'

Por  tanto, habremos de obtener un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa sea OA y un cateto mida √K.

Sabemos que √K es el radio de la CPD por lo que si desde A trazamos una tangente a ella, obtendremos un triángulo rectángulo formado por A, por el punto de tangencia T y el centro de la inversión O que cumple lo que buscamos. Trazado en rojo.

Por el punto A trazamos una tangente a la CPD, formando un triángulo con A, el punto de tangencia y el centro de la misma.

Obtendremos A' trazando una perpendicular a OA por T. En verde.

Si por el punto de tangencia T trazamos una perpendicular a la hipotenusa obtenemos el inverso de A

 

Si el punto es al interior partimos de este dibujo:

Dada la cpd obtener el inverso de un punto interior a ella.

Realizamos el mismo proceso pero al revés, es decir, unimos O con B. Por B trazamos una perpendicular a la recta OB, ya que OB tiene que se la proyección de un cateto sobre la hipotenusa,  obteniendo el punto T. OB es la proyección de OT (que mide √K por  ser igual que el radio de la CPD) sobre la recta que contiene a OB y que será la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Trazados en verde.

Unimos el centro con el punto que nos dan con una recta. Por el punto que nos dan trazamos una perpendicular a la recta.

Ahora, sólo nos queda acabar el triángulo rectángulo para lo que trazamos una perpendicular a OT por T obteniendo B' en la recta OB. En rojo.

Por T trazamos una perpendicular a OT y donde se corte con la recta OB obtengo B'

De esta forma podemos determinar el inverso de cualquier punto conociendo la circunferencia de autoinversión.

Deja un comentario en: “Inversión: el inverso de un punto conociendo la cpd

Los comentarios están cerrados.