Inversión: inverso de un punto conociendo el centro y un par de puntos inversos

En el artículo anterior hemos visto cómo determinar el inverso de un punto a partir de la circunferencia de puntos dobles. En éste vamos a ver cómo obtener el inverso si conocemos un par de puntos inversos y el centro. Sólo nos quedaría cómo obtener el inverso de un punto si partimos del centro y una circunferencia doble.

Partimos de un dibujo como éste, con un par de puntos inversos y el centro, así como otro punto.

Dado el polo y dos puntos inversos obtener el inverso de otro punto

Esta caso, tal vez más sencillo que el anterior, se basa en la propiedad de la inversión que nos dice que dos pares de puntos inversos pertenecen a una misma circunferencia. Es decir, el punto A y su inverso A', el punto B y su inverso B' estarán en una circunferencia.

Como quiera que una circunferencia queda definida con tres puntos, podemos obtener la circunferencia que definen A, A' y B.

Por otro lado, también sabemos (por se otra propiedad básica de las inversiones) que dos puntos inversos están alineados con el foco.

Por tanto, obtenemos la circunferencia que nos definen A,A' y B (mediatrices de A-A' y de A-B nos determinan el centro C).  En rojo.

Unimos O con B con una recta y donde ésta se corte con la circunferencia anterior tendremos el punto B'. En verde.

Trazamos la circunferencia definida por A, A' y B. Unimos B con O

De esta forma podremos obtener el inverso de cualquier punto conociendo el polo y un par de puntos inversos.

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