Inversión: inverso de un punto conociendo el centro y una circunferencia doble

Antes de resolver este caso que continúa la serie ya iniciada de inversión de un punto, me vais a permitir que os hable de la formación de calidad como elemento diferenciador a la hora de conseguir un empleo.

El hecho de conseguir una máster mba en Valencia por la Cámara de Comercio, por ejemplo, o un postgrado de prestigio es definitivo a la hora de poder optar a un empleo mejor, a tener opciones que de otra manera no tendrías.

El hecho de tener un curriculum con titulaciones tales como mba valencia, másters por prestigiosos centros y universidades vital porque te da la ocasión de elegir, permíteme que te lo repita, te da la capacidad de elegir el puesto al que puedes optar ya sea como director ejecutivo de una empresa o CEO, o bien, decides encauzar tu carrera laboral por otro camino.

La buena formación, con la que en este blog queremos poner nuestro muy humilde grano de arena, lo que te otorga es el bien más preciado para el hombre que es la Libertad. La Libertad de elegir cómo quieres ganarte el futuro.

Por eso, es muy importante que nunca desdeñes una formación de calidad no mirando el corto plazo sino como una capacitación que te va a permitir poder elegir a qué vas a querer dedicarte. Lo importante, nunca me cansaré de repetirlo es la capacidad de elección.

Bueno, tras este pequeño inciso vamos ya a estudiar el último caso de inversión de un punto como es obtener el inverso de un punto conociendo el centro y una circunferencia doble, es decir, partimos de una figura como ésta:

Conociendo una circunferncia doble obtener el inverso de un puntoEste caso lo resolveremos reduciéndolo al anterior, es decir, al caso de inverso de un punto conociendo un par de puntos inversos. Si la circunferencia es doble cualquier recta secante que pase por el centro de la inversión (O) nos va a definir un par de puntos inversos, por lo que bastará determinar una circunferencia con ese par de puntos inversos  y A. Después uniendo O con A con una recta obtendremos A' en la intersección de esa recta con la circunferencia que pasa por A.

Así pues, trazamos una recta que pase por O y que corte a la circunferencia de centro C (en rojo). Obteniendo los puntos B y B' inversos entre sí.

Después, trazamos la circunferencia que nos definen los puntos A, B y B' (en verde). Recordemos que para obtener la circunferencia que pasa por tres puntos (primer caso de Apolonio) hay que trazar las mediatrices de dos de los segmentos que forman esos dos puntos y donde se corten estará el centro de dicha circunferencia. (En el dibujo hemos obviado esos trazados por simplicidad, pero en el examen tendréis que hacerlos).

A continuación, trazamos una recta que una O con A y que va a cortar a la circunferencia definida por A, B y B' (la verde) en el punto A', inverso de A, tal y como nos pedían.

Obtenermos el punto inverso de A

Este método sirve tanto  si la inversión es positiva (tal y como acabamos de resolver) como si es negativa. Ver figura de abajo (se han seguido los mismos pasos con el mismo código de colores: rojo para obtener dos puntos inversos B y B', verde para obtener la circunferencia  que contiene a los tres y azul para la solución):

En una inversión negativa determinamos el inverso de un punto

No obstante, en el caso de una inversión positiva también podemos reducir el problema la caso ya estudiado de punto inverso de otro conociendo la CPD (en el caso de la inversión negativa, recordemos que la CPD no existe).

Para ello, trazamos la tangente a la circunferencia doble desde el punto O, obteniendo T, el punto de tangencia que se encuentra a una distancia √K de O. Trazaos la CPD con centro en O y radio OT = √K. Unimos O con A  y desde A trazamos una perpendicular a OA, obteniendo en punto M.

Ahora unimos O con M y por éste último trazamos una perpendicular a esa recta. Donde corte con OA obtendremos A'. Todos los trazados los hemos realizado en color fucsia y sobre el dibujo del primer método para comprobar que coinciden (como no podría ser de otra forma.

Inversión de un punto conociendo uan circunferncia doble reduciéndolo a CPD

Aquí tenéis el segundo método solo para una mayor claridad.

Usando la circunferencia de autoinversión determinamos el inverso de un punto a partir de una cirdunfrencia doble