Lugares geométricos: mediatriz, bisectriz y arco capaz

Los lugares geométricos es uno de los conceptos más utilizados en dibujo, entendiendo como tal al conjunto de los puntos del plano  que cumplen una determinada propiedad geométrica.

Así definimos cuatro lugares geométricos básicos:

  1. Recta paralela. Lugar geométrico de los puntos del plano que están a una distancia dada de una recta.
  2. Mediatriz. Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos puntos fijos.
  3. Bisectriz. Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos rectas dadas.
  4. Arco capaz. Lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve un segmento bajo un ángulo dado.

Trazado:

MediatrizMediatriz de un segmento

  1. Con centro en uno de los extremos del segmento y radio mayor que la mitad del segmento trazamos un arco algo menor que media circunferencia.
  2. Repetimos la misma operación (con el mismo radio) en el otro extremo del segmento.
  3. Unimos los dos puntos donde se cortan ambos arcos determinando una recta que será la mediatriz del segmento.

Bisectriz de un ánguloBisectriz

  1. Con centro en el vértice del ángulo trazamos un arco que corte a las dos rectas en sendos puntos A y B.
  2. Con centro en A y radio mayor que la mitad de la distancia AB trazamos un arco.
  3. Hacemos lo mismo desde el punto B (con el mismo radio).
  4. Uniendo el vértice del ángulo con el punto de corte de ambos arcos obtenemos la recta bisectriz del ángulo.

Arco capaz de un ángulo respecto de un segmentoArco capaz

  1. Trazamos la mediatriz del segmento dado.
  2. Por uno de los extremos A del segmento trazamos un recta hacia abajo formando el ángulo característico del arco capaz.
  3. Después por A trazamos una perpendicular a la recta anterior.
  4. Donde esta última perpendicular se corte con la mediatriz del segmento obtenemos el centro del arco capaz O, de radio OA.

Otros lugares geométricos

Otros lugares geométricos interesantes son las curvas cónicas (elipse, hipérbola y parábola) que definiremos en su momento, incluida la circunferencia que definimos como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, el centro de la circunferencia.

Las propiedades básicas de las tangencias también nos definen nuevos lugares geométricos.

Combinando dos lugares geométricos podemos obtener puntos cumplen esas dos propiedades.

Por ejemplo:

  • Centro de la circunferencia que pasa por tres puntos. Trazaremos las mediatrices (lugares geométricos que equidistan de dos puntos) de los segmentos que determinan esos tres puntos. Donde corten ambas mediatrices (punto que equidista de los tres) obtendremos el centro de la circunferencia pedida.

Solución al ejercicio circunferencia que pasa por tres puntos

  • Bisectriz de un ángulo con vértice no accesible. Trazamos una recta secante a las dos dadas y trazamos las bisectrices de los ángulos que forman. Uniendo las intersecciones de estas bisectrices tomadas dos a dos obtenemos la bisectriz de las dos rectas originales.

Bisectriz del ángulo que forman dos rectas que se cortan fuera del papel

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