Potencia de un punto respecto de una circunferencia

Partiremos de un punto P y una circunferencia c. Si por P trazamos rectas secantes a c, cortarán a esta en dos puntos cada una que llamaremos A,A', B,B' ,etc.

Los triángulos formados PAB' y PBA' son semejantes por tener los ángulos iguales: el ángulo en P es común, los ángulos en A' y B' por ser ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco (AB); por tanto el ángulo en A y en B, también serán iguales.

potencia de un punto respecto de una circunferencia

Ello implica que, al ser los triángulos semejantes, sus lados son proporcionales cumpliéndose: PA/PB = PB'/PA' ⇒ PA · PA' = PB · PB'.

Extrapolándolo a más rectas secantes obtenemos: PA · PA' = PB · PB' = PC · PC' = .... = K.

Ese valor de K es la constante de potencia del punto P respecto de la circunferencia c.

Si dentro del haz de rectas secantes trazamos una recta tangente obtendremos que PT · PT = PT² = K, por tanto, PT = √K.

potencia de un punto respecto de una circunferencia con rectas tangentes

Como vemos el ángulo en T es de 90º, al igual que el de T', el ángulo en P es común, por lo tanto, el ángulo en O también es el mismo.

Por tanto, concluimos que la potencia de un punto P exterior a una circunferencia es un valor positivo igual al producto de los segmentos determinados por una secante trazada desde P, o el cuadrado el segmento trazado desde P al punto tangente de la recta tangente desde P.

Cuando el punto es interior a la circunferencia, la potencia será negativa, debido a que los segmentos PA y PB se miden en sentidos opuestos:

potencia de un punto interior respecto de una circunferencia

En este caso, se cumple que la media proporcional de PA y PB es √k:

valor  de la pontencia de un punto interior a una circunferencia

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