Problema de tangencias: Inscribir tres circunferencias en un ángulo de 30º dado el radio de una de ellas

Inscribir en el ángulo dado, una circunferencia de 10mm de radio y otras dos circunferencias tangentes a la primera y a los lados del ángulo.

Dos rectas que se cortanSOLUCIÓN:

En primer lugar, determinamos la bisectriz (en verde) del mismo, que será el lugar geométrico de todos los centros de las posibles circunferencias tangentes a ambas rectas.

Enunciado: tres circunferencias-tangentes a un angulo enunciadoAhora trazamos un recta paralela a un distancia de 10mm a cualquiera de las dos rectas (en nuestro caso lo hemos hecho a la recta r - en color rojo). Esa recta será el lugar geométrico de los centros de todas las circunferencias de radio 10mm tangentes a r. Donde ambos lugares  geométricos (paralela y bisectriz) se corten obtendremos el centro de la primera circunferencias pedida, la de radio 10mm.

Desde C1 trazamos perpendiculares a r y s, para obtener los puntos de tangencia (en naranja).

Obtenemos la primera circunferenciaSólo nos basta dibujar con centro en C1 y radio C1-T1 la primera de las circunferencias pedidas (en azul).

Para determinar la segunda circunferencia determinamos su punto de tangencia con la C1 que será donde se corte con la bisectriz (en verde): aplicando una de las propiedades fundamentales de las tangencias que dice que dos circuncunferencias tangentes tienen sus centros y su punto de tangencia alineados.

Por ese punto trazamos una perpendicular (en morado), que será tangente a ambas circunferencias por ser perpendicular al radio que une el centro de la circunferencia con el punto de tangencia (otra propiedad fundamental), que nos formará un nuevo ángulo con la recta s. Como la nueva circunferncia ha de ser tangente a esta perpendicular y a s, su centro se hallará en la bisectriz de este nuevo ángulo formado (también pintada en morado).

Donde se corten ambas bisectrices obtenemos C2, el centro de la circunferencia. Como antes y también en naranja, trazamos perpendiculares hasta r y s obteniendo los puntos de tangencia.

Obtenemos la segunda circunferencia

Con centro en C2 y radio C2-T3 trazamos la segunda circunferncia pedida.

Para obtener la última circunferencia repetimos el proceso anterior (con los mismos colores), obteniendo como resultado:

Obtenemos la tercera circunferencia