Rectas y puntos notables de los triángulos

En un artículo anterior hablamos de los conceptos básicos de triángulos, definiendo los distintos tipos de éstos así como sus propiedades más importantes. Ahora vamos a dar otro pasito más hacia adelante estudiando sus rectas notables y sus centros característicos.

En un triángulo hemos de estudiar cuatro rectas fundamentales que son: las mediatrices de sus lados, las bisectrices de sus ángulos, las rectas que unen el punto medio de un lado con el vértice opuesto (medianas) y las alturas (perpendicular a un lado que pasa por el vértice opuesto).

La intersección de estas rectas nos van a definir cuatro puntos notables en los triángulos. Para explicar cada uno de ellos y que no volvamos a confundirlos vamos a comenzar recordando los conceptos de mediatriz y bisectriz.

Mediatriz es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos puntos dados.

En el caso de la mediatriz de un lado (por ejemplo el lado a) de un triángulo será el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos los vértices del triángulo (en el caso del ejemplo de B y C). Así, en la imagen inferior hemos dibujado dos puntos cualquiera, el punto 1  y el punto 2, los cuales equidistan de los vértices B y C.

Si estudiamos la mediatriz de otro de los lados (b), tendremos que será el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de unos de los vértices anteriores (C) y el otro (A), puntos 3 y 4. Así podríamos hacer con la tercera mediatriz también.

Mediatrices de un triángulo como lugar geométrico

Por tanto, donde se corten las tres mediatrices (o dos de ellos) será un punto que equidiste de los tres vértices del triángulo. Y ese punto será el centro de la circunferencia circunscrita, es decir, el circuncentro. Efectivamente, si definimos la circunferencia circunscrita como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, el circuncentro, éste ha de estar por el primer caso de Apolonio donde corten las mediatrices.

circuncentro de un triángulo

Si, de la misma manera, definimos las bisectrices de los ángulos de un triángulo como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados que lo forman, deducimos que serán el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes a los lados del triángulo (una de las propiedades básicas de las tangencias). Por tanto, donde corten las bisectrices obtendré el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a los tres lados del triángulo y cuyo centro es el Incentro. Se trata del tercer caso de Apolonio.

Incentro de un triángulo, punto donde cortan las bisectrices

Entre las mediatrices y las bisectrices se da una curiosa propiedad (que ya desarrollaremos más adelante) según la cual la mediatriz de un lado y la bisectriz de su ángulo opuesto se cortan en la circunferencia circunscrita.

la mediatriz y la bisectriz se cortan en la circunferencia circunscrita

A continuación veremos el centro más importante de un triángulo que es el baricentro, punto donde se cortan las medianas. Las medianas unen el punto medio de un lado con el vértice opuesto, como ya hemos comentado antes. Donde se cortan las medianas nos define el Baricentro que será el centro de masas del triágulo, por ello es el punto notable más utilizado de los cuatro.

Baricentro es el punto donde se cortan las medianas

El baricentro divide a la mediana en dos segmentos, en dos partes, en la que una de ellas es el doble de la otra. O, dicho de otra manera, el baricentro se encuentra a 2/3 de la medida de la mediana del vértice y a 1/3 del punto medio del lado.

Por último, hablaremos del ortocentro, lugar donde se cortan las alturas. Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares a los lados del triángulo que pasan por el vértice opuesto. Para recordar que el ortocentro es donde se cortan las alturas, pensemos que las alturas son perpendiculares (ortogonales) a los lados. De ortogonal, ortocentro.

ortocentro es el punto donde cortan las alturas de un triángulo

Además, las alturas nos definen el conocido como triángulo órtico que resulta de unir los pies de las tres alturas.