Selectividad Andalucía 2009 (PAU) Opción B2 - Trazado Geométrico

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD (PAU) 2009 ANDALUCIA

OPCIÓN B: EJERCICIO 2 - TRAZADO GEOMÉTRICO

Sabiendo que el punto A es el vértice del ángulo desigual de un triángulo isósceles y que la circunfererencia de centro O es su circunferencia inscrita, se pide:

  1. Dibujar el triángulo, determinando geométricamente los puntos de tangencia de los lados con la circunferencia.
  2. Determinar el ortocentro, baricentro e incentro del triángulo.
  3. Representar la circunferencia circunscrita.

Ejercicio B2 Andalucia 2009 GeométricoSOLUCIÓN:

  1. Triángulo y puntos de tangencia

En primer lugar, trazaremos las rectas tangentes a la circunferencia que pasan por el punto A. En estas rectas estarán los lados iguales del triángulo isósceles.

Rectas tangentes a una circunferncia desde un punto exteriorA continuación trazamos la altura del triángulo isósceles que, precisamente por ser isósceles (como si fuese equilátero) coincide con la bisectriz en el vértice en A.

Donde corte con la circunferencia (en el punto al otro lado de O) estará el pie de la altura y punto de tangencia (T3) del tercer lado (el lado desigual) con la cincuferencia inscrita.

Por T3, trazamos una perpendicular la bisectriz de A y donde corte dicha perpendicular con las tangentes obtenidas anteriormente tendremos los vértices B y C del triángulo.

Obtenemos A y B con una perpendicular a la altura desde T3

2. Ortocentro, incentro y baricento del triángulo.

El incentro ya se haya en el enunciado, ya que coincide con O centro de la circunferencia del enunciado.

Para determinar el ortocentro obtendermos la altura de uno de los vértices B ó C, ya que la altura de A ya la tenemos.

Para obtener el baricentro determinaremos la mediana de B ó C, ya que la de A ya la tenemos (coincide con al bisectriz y con la altura).

Determinaros los puntos notables del triángulo que nos piden

3. Circunferencia circunscrita.

Para dibujar al circunferencia circunscrita que es el circuncentro, lugar donde se cortan las mediatrices. Como quiera que ya hemos obtenido la mediatriz de AC (para obtener AC/2), el circuncentro será donde corte dicha mediana con la altura (recordemos que por ser un triángulo isósceceles en el ángulo y en el lado desigual coinciden la mediana, la bisectriz, la mediatriz y la altura).

Con centro en el circuncentro y radio la distancia desde éste a cualquiera de los vértices dibujamos la circunferencia circunscrita.

Obtenemos la circunferencia circunscrita