Sistema diédrico: Intersección entre un plano y una recta

Determinar la intersección entre el plano P y la recta r dadas en la siguiente figura:

Intersección entre recta y plano

SOLUCIÓN:

Lo primero que tenemos que tener claro en estos problemas de intersección es saber qué ha de ser el resultado, bien un punto, bien una recta. En este caso, la intersección entre recta y plano es un punto.

Lo siguiente a tener en cuente en los problemas de sistema diédrico es tener muy claro qué es lo que podemos hacer de manera directa y qué es lo que no podemos hacer, es decir, hay algunos problemas para cuya resolución basta aplicar el método, mientras que otros hemos de reducirlos a otro problema de ese tipo.

En el caso de las intersecciones sabemos resolver (existe un método directo) la intersección entre dos rectas (simplemente es su punto en común) y la intersección entre dos planos (es una recta cuyas trazas están en las intersecciones de las trazas de los planos).

Como no existe método directo para obtener el punto de intersección entre recta y plano, lo que haremos el convertir el problema en uno del tipo intersección de planos y, posteriormente, en uno del tipo intersección de rectas. Ambos tipos de problemas de los cuales sí tenemos método directo para resolverlos.

Por tanto, el primer paso será incluir la recta r en un plano Q que la contenga para resolver el problema de intersección entre plano. De esta forma hemos reducido el ejercicio al tipo intersección entre planos.

Obtenemos un plano que contenga a nuestra recta

El plano Q elegido (en color fucsia) es un plano proyectante horizontal (su traza vertical es perpendicular a línea de tierra y la traza horizontal es oblicua).

Ahora, determinamos las trazas de la recta intersección: donde cortan la traza vertical P con la traza vertical de Q tengo la traza vertical de la recta intersección.

Repito el proceso para la traza horizontal.

Uniendo la proyección vertical de la traza horizontal (Hi2) con la traza vertical (Vi2) obtengo la proyección vertical de la recta intersección i2 (dibujado en marrón).

Como el plano que hemos elegido para contener a la recta r es proyectante horizontal todo elemento contenido en él tendrá su proyección horizontal en la traza horizontal del plano, por tanto, la proyección horizontal de la recta i será coincidente tanto con la traza horizontal del plano Q, como con la recta r1.

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Ahora, sólo nos falta obtener el punto de intersección entre la recta r y la recta i. Para ello, buscamos la intersección entre las proyecciones i2 y r2, obteniendo la proyección vertical del punto intersección I2. En i1 y r1 obtendremos I1, su proyección horizontal. (solución en color negro).

El punto de intersección de ambas rectas es la solucíon

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