Sistema Diédrico: recta perpendicular a dos planos que se cortan

Obtener el plano perpendicular a los planos P y Q y que contiene al punto A:

Obtener un plano perpendicular a otros dos dados y que contenga a un punto

SOLUCIÓN:

Este ejercicio podemos resolverlo de dos formas:

  1. Dibujando una recta perpendicular a cada plano y obteniendo el plano que forman
  2. Determinando la recta intersección de ambos planos y dibujando por A un plano que sea perpendicular a dicha recta.

PRIMER PROCEDIMIENTO:

Pasando por el punto A trazamos sendas rectas perpendiculares a ambos planos.

Por A2 trazamos una perpendicular a P2 que llamaremos r2 (en azul) y otra a Q2 que llamaremos s2 (en verde). Hacemos lo mismo con A1, P1 y Q1 obteniendo r1 (en azul) y s1 (en verde).

Rectas perpendiculares a dos planos que pasan por un punto

A continuación, obtenemos las trazas de r y s, esto es, Vr, Hr, Vs y Hs, y unimos las verticales entre sí (Vr con Vs) obteniendo la traza vertical del plano pedido (T2), y las horizontales entre sí (Hr con Hs) obteniendo la traza horizontal del plano pedido (T1).

Solución al ejercicio, trazas del plano perpendicular a dos dados

Las trazas del plano se han dibujado en color marrón.

 

SEGUNDO MÉTODO:

Ahora se trata de obtener en primer lugar la recta intersección de ambos planos para, a continuación, trazar un plano perpendicular a esa recta que contenga al punto A.

Donde se interceptan P2 y Q2 tendremos la traza vertical de la recta intersección, Vi2 (en azul). Igualmente, donde se cortan P1 y Q1 obtenemos Hi1 (en azul) traza horizontal de la recta intersección.

A continuación, determinamos su otra proyección: Vi1 en el caso de Vi2 y Hi2 en el caso de Hi1. Uniendo Vi1 con Hi1 obtenemos i1, la proyección horizontal de la recta intersección; y Vi2 con Hi2 obteniendo la proyección vertical i2.

Recta donde se cortan dos planos

Una vez obtenida la recta intersección de ambos planos tendremos que trazar un plano perpendicular a dicha recta, es decir, un plano cuyas trazas sean perpendiculares a las proyecciones de la recta, y que contenga al punto A.

Para ello dibujamos una recta frontal (recta f, dibujada en rosa) que contenga al punto A y que su proyección vertical sea perpendicular a la proyección vertical de la recta intersección. De este modo, al trazar el plano que contenga a esta recta frontal, su traza vertical será paralela a la proyección vertical de la recta y por tanto, perpendicular a la proyección vertical de la recta intersección.

Obtenemos las trazas (en este caso la traza horizontal y que no tiene traza vertical) Hf1.

Recta frontal que contiene al punto A

Para finalizar trazamos un plano que contenga a la recta f. Para ello hemos de dibujar una traza horizontal que pase por Hf1 y que sea perpendicular a r1. La otra traza, la vertical, como ya hemos comentado antes será paralela a f2 para contener a la recta frontal.

Plano que contiene a la recta frontal y es perpendicular a ambos planos

Las trazas del plano solución son T1 y T2 y se han dibujado en color marrón.

Como puede observarse ambos procedimientos dan exactamente el mismo plano solución.