Tangencias por potencia: circunferencias tangentes a dos rectas que pasan por un punto

En el artículo de hoy vamos a explicar como obtener las circunferencias tangentes a dos rectas que pasan por un punto en el conocido como el tercer caso de Apolonio.

Hay dos maneras de resolver este tipo de tangencia: por potencia y por homotecia.

Primero la resolveremos por potencia.

Partimos de la siguiente figura:

Determinar las circunferencias tangentes a dos rectas y que pasan por un punto

Lo primero que haremos será determinar el lugar geométrico de los centros de la circunferencias que son tangentes a las rectas r y s, que no es otro que la bisectriz del ángulo que forman. Trazados en rojo.

Obtenemos el lugar geométrico de los centros de las circunferencias: bisectriz del ángulo

A continuación, determinamos el simétrico de P respecto de la bisectriz, obteniendo el punto P'. Trazamos la circunferencia que pasa por P y P' de centro el punto 2. Trazados en verde.

Determinamos P', simétrico de P respecto a la bisectriz

La recta P-P' es el eje radical de las circunferencias solución y de cualquier otra que pase por P y P'. La intersección del eje radical con r nos define el punto 1 que será el centro de la potencia. Trazando desde 1 una tangente a la circunferencia que contiene a P y P' obtenemos T, que nos permite definir el valor de la potencia K = 1T.

Nos llevamos esa distancia K hacia ambos lados del punto 1 en la recta r obteniendo los puntos de tangencia de las circunferencias pedidas sobre la recta r, llamados Tr1 y Tr2. Trazados en azul.

Obtenemos los puntos de tangencia Tr1 y Tr2

Ahora desde Tr1 y Tr2 y aplicando una de las propiedades fundamentales de las tangencias trazamos sendas perpendiculares a r determinándonos en la bisectriz de r y s, los centros O1 y O2 de las circunferencias pedidas. Desde esos puntos trazamos nuevas perpendiculares, en este caso a la recta s obteniendo Ts1 y Ts2. Trazados en fucsia.

Determinamos los centros de las circunferencias pedidas

Ya sólo nos queda dibujar las circunferencias con centro en O1 y radio O1-Tr1, y centro en O2 y radio O2-Tr2, respectivamente. Dibujada en marrón.

Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas

Como ya hemos comentado, este tipo de tangencia también puede resolverse por homotecia (quizá un procedimiento más sencillo).

Partiendo de las mismas rectas y el mismo punto, determinamos la bisectriz del ángulo que forman (hasta ahora todo es igual). Elegimos un punto cualquiera de ésta, que llamaremos O y trazaremos la circunferencia tangente a r y s que, obviamente no pasarán por P. Trazados en rojo.

circunferencia tangente a r y s que no pasa por PA continuación unimos el punto de corte de r y s con P obteniendo en la circunferencia trazada los puntos P' y P'' homólogos de P. Unimos P' y P'' con O con sendas rectas. Después, por P trazamos una paralela a P'O, obteniendo el punto O1. Hacemos lo mismo con P"O, determinando O2. Trazados en azul.

Obtenemos los centros por homotecia

Ahora, sólo nos falta determinar los puntos de tangencia sobre r y s, trazando perpendiculares desde O1 y O2 a r y s y dibujar las circunferencias. Trazados en verde, solución en marrón.

Circunferencias tangentes a dos rectas y que pasan por un punto por homotecia