Triángulo homotetico a otro que tenga por área la mitad

ENUNCIADO:

Hallar el triángulo A'B'C' homotético al dado ABC, de área mitad, y cuyo centro de homotecia sea el baricentro G.

Triángulo Escaleno

SOLUCIÓN:

La solución a este ejercicio se basa en una propiedad de la homotecia que nos dice que "la relación de dos áreas homotéticas es el cuadrado de la razón de homotecia". Es decir, si el área ha de ser la mitad, la K será 1/√2, si tuviese que se la tercera parte sería 1/√3,  si fuese el doble la razón sería √2, etc.

En este caso nos dicen que el centro de homotecia ha de ser el baricentro, por lo que procederemos a determinarlo. Para ello, determinamos los puntos medios de cada lado (puntos 1, 2 y 3) y los uniremos con sus vértices opuestos: 1 con A, 2 con B y 3 con C, obteniendo las medianas.

Donde las medianas se cortan tendremos el baricentro G. (Trazados en verde).

medianas y baricentro de un triangulo escaleno

Determinaremos el homotético de A, punto A' que habrá de cumplir:

relacion de homotecia figuras de area la mitad

Así pues, determinaremos desde G un segmento de valor √2. Para ello, dibujaremos un triángulo rectángulo isósceles en el que cada cateto valga la unidad. Su hipotenusa valdrá √2.

Efectivamente, según el teorema de pitágoras:

teorema de pitágoras, raíz de dos

Por tanto, a partir de G dibujamos un triángulo isósceles rectángulo de lado la unidad (trazados en rojo), en el que en G tengamos uno de los ángulos iguales. Sobre la hipotenusa nos llevamos el lado de valor unidad. Ahora por Tales obtendremos GA': unimos el extremo de la hipotenusa con A y, por el extremo del segmento unidad que nos hemos llevado a la hipotenusa, trazamos una paralela a 4A, obteniendo en el segmento 1A el vértice A'.

Punto homotético de otro de razón raíz de 2

Ahora sólo basta trazar paralelas desde A' a los lados b y c y obtendremos el triángulo pedido A'B'C' (en azul).


Triángulo homotético de otro dado cuyo área es la mitad